Question

5．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C，连接PC，交⊙O于点E；连接AE，并延长AE交PB于点E，求证：PE•AC=CE•KB．

Answer 1

分析 由△KPE∽△KAP，可得KP²=KE•KA，又由切割线定理得KB²=KE•KA，即KP=KB，再通过线段的转化，即可得出结论．

解答 证明：∵AC∥PB，
∴∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，
∴∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，
∴△KPE∽△KAP，
∴$\frac{KP}{KA}=\frac{KE}{KP}$，
即KP²=KE•KA．
由切割线定理得KB²=KE•KA
∴KP=KB，
∵AC∥PB，△KPE∽△ACE，
于是$\frac{PE}{CE}=\frac{KP}{AC}$，
故$\frac{PE}{CE}=\frac{KB}{AC}$，
即PE•AC=CE•KB．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及切割线定理，能够掌握并熟练运用．