Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是梯形，，，，，，为边的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）取中点，连接、，推导出是平行四边形，从而，由此能证明平面；

（2）取中点，连接、，取的中点，连接，推导出，，由此能证明平面，再利用面面垂直的判定定理可得出结论；

（3）由，由此能求出三棱锥的体积.

（1）取中点，连接、，

是的中点，为的中点，则且，

，且，且，

所以，四边形是平行四边形，，

平面，平面，因此，平面；

（2）取中点，连接、，取的中点，连接.

，为的中点，，

在梯形中，，，为的中点，

所以，，又，则四边形为矩形，

，且，，

为等腰直角三角形，且，

，，，

在中，由余弦定理得，

，，，

，平面，

平面，平面平面；

（3）是的中点，，

平面，，，

三棱锥的体积为.