【题目】已知函数,当
时,
的取值范围是
.
(1)求的值;
(2)若不等式对
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数有3个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1) . (2)
;(3)
【解析】
(1)讨论k的取值范围,说明在
上的单调性,求出对应的值域,即可求出k的值;
(2)转换为
对
恒成立,换元求出
的最小值即可;
(3)令,则
,等价转换为
有两个不等的实数解,且两解
,
满足
,
,利用根的分布,求出
的取值范围.
解:(1)当时,
在
上是增函数,
,与已知不符.
当且
时,
,当且仅当
时,取等号.
在
是减函数,在
上是增函数.
当时,
,
,
此时,
符合题意.
当时,由题意知
,
或
,
,求得
而
,不合题意.
∴.
(2)可化为
,
∴.
∵,∴
,
∴,
时,
取最小值0.
∴即
的取值范围是
.
(3)由题意知,
,
令,则
,函数
有3个零点,
化为有两个不等的实数解,且两解
,
满足
,
,
设,则
或
,
∴即
的取值范围是
.
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【题目】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点,且AA1=AD.
(1)求直线EF与平面ABCD所成角的大小;
(2)若EF=AB,求二面角B-A1C-D的余弦值.
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【题目】在交通工程学中,常作如下定义:交通流量(辆/小时):单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数;车流速度
(千米/小时):单位时间内车流平均行驶过的距离;车流密度
(辆/千米):单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的,
和
满足一个线性关系,即
(其中
是正数),则以下说法正确的是
A. 随着车流密度增大,车流速度增大
B. 随着车流密度增大,交通流量增大
C. 随着车流密度增大,交通流量先减小,后增大
D. 随着车流密度增大,交通流量先增大,后减小
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【题目】关于圆周率,数学发展史上出现过许多有创意的求法,如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计
的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对
,再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对
的个数m,最后根据统计个数m估计
的值.如果统计结果是
,那么可以估计
的值为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知定点,
,直线
、
相交于点
,且它们的斜率之积为
,记动点
的轨迹为曲线
。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线
交于
、
两点,是否存在定点
,使得直线
与
斜率之积为定值,若存在,求出
坐标;若不存在,请说明理由。
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【题目】为调查宜昌一中高二年级男生的身高状况,现从宜昌一中高二年级中随机抽取100名男生作为样本,下图是样本的身高频率分布直方图(身高单位:cm).
(1)用样本频率估计高二男生身高在180cm及以上概率,并根据图中数据估计宜昌一中高二男生的平均身高;
(2)在该样本中,求身高在180cm及以上的同学人数,利用分层抽样的方法再从身高在180cm及以上的两组同学(180~185,185~190)中选出3名同学,应该如何选取;
(3)在该样本中,从身高在180cm及以上的同学中随机挑选3人,这3人的身高都在185cm及以上的概率有多大?
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,左顶点为
,左焦点为
,点
在椭圆
上,直线
与椭圆
交于
,
两点,直线
,
分别与
轴交于点
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)以为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
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