精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,椭圆的两顶点为A(
2
,0)
,B(0,1),该椭圆的左右焦点分别是F1,F2
(1)在线段AB上是否存在点C,使得CF1⊥CF2?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)设过F1的直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF2面积的最大值.
由已知可得椭圆的方程为
x2
2
+y2=1

且有:a=
2
,b=c=1
,F1(-1,0),
F2(1,0),
AB
=(-
2
,1)

(1)假设存在点C,使得CF1⊥CF2
则:OC=
1
2
F1F2=1

AC
AB
(λ∈[0,1]),
OC
=
OA
+
AC
=
OA
AB
=
(
2
,0)+λ(-
2
,1)=(
2
2
,λ)

故有:(
2
-
2
λ)2+λ2=1
,解得λ=1或λ=
1
3

所以点C的坐标为C(0,1)或C(
2
2
3
1
3
)


(2)若设过F1的直线l交椭圆于P(x1,y1),Q(x2,y2),则由焦半径公式可得:PQ=PF1+QF1=(a+ex1)+(a+ex2)=2
2
+
2
2
(x1+x2)

当PQ⊥x轴时,x1=x2=-1,此时S△PQF2=
1
2
PQ•F1F2=PQ=2
2
-
2
=
2

当PQ与x轴不垂直时,不妨设直线PQ的方程为y=k(x+1),(k>0),
则由:
y=k(x+1)
x2+2y2=2
得:(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,故x1+x2=-
4k2
2k2+1

于是可得:PQ=2
2
+
2
2
(x1+x2)=2
2
-
2
2
4k2
2k2+1
=2
2
k2+1
2k2+1

又由点到直线的距离公式可得点F2到PQ的距离d=
2k
k2+1

S△PQF2=
1
2
PQ•d=
1
2
•2
2
k2+1
2k2+1
2k
k2+1
=2
2
k•
k2+1
2k2+1

因为2k2+1=k2+k2+1>2k•
k2+1

所以S△PQF2=2
2
k•
k2+1
2k2+1
2

综上可知,当直线PQ⊥x轴时,△PQF2的面积取到最大值
2

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
2
,且经过点(4,-
10
).
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设F1、F2为双曲线C的左、右焦点,若双曲线C上一点M满足F1M⊥F2M,求△MF1F2的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

过点M(1,1)作一直线与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1相交于A,B两点,若M点恰好为弦AB的中点,则AB所在直线的方程为______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(
2
+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明k1•k2=1;
(Ⅲ)(此小题仅理科做)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的两条渐近线为
l1,l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图).
(1)当l1与l2的夹角为60°,且△POF的面积为
3
2
时,求椭圆C的方程;
(2)当
FA
AP
时,求当λ取到最大值时椭圆的离心率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若椭圆
x2
4
+
y2
a2
=1与双曲线
x2
a
-
y2
2
=1有相同的焦点,则a的值是(  )
A.1B.-1C.±1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=
5
5
,过F1的直线交椭圆于M、N两点,且△MNF2的周长为4
5

(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设AB是过椭圆E中心的任意弦,P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点,求△APB面积的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直线l:y=x+2,与抛物线x2=y交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,l与x轴交于点C(xC,0).
(1)求证:
1
xA
+
1
xB
=
1
xC

(2)求直线l与抛物线所围平面图形的面积;
(3)某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时(如图1所示),尝试拖动改变直线l与抛物线的方程,发现
1
xA
+
1
xB
1
xC
的结果依然相等(如图2、图3所示),你能由此发现出关于抛物线的一般结论,并进行证明吗?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C:y2=x,直线l:y=k(x-1)+1,要使抛物线C上存在关于对称的两点,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案