Question

函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且当θ∈（0，

π

2

）时，f（cos2θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是

m≥-

1

2

．

Answer 1

分析：根据函数是奇函数原不等式化简为f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2），再借助于函数的单调性可得1-2sin²θ+2msinθ＜2m+2，利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．

解答：解：∵函数f（x）在R上是奇函数，f（cos2θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0
∴f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）
∵y=f（x）是减函数，
∴cos2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．
∴1-2sin²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．
设t=sinθ∈[0，1]，等价于2t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．
只要g（t）=2t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．
（1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1≥0，所以可得：0＞m≥-

1

2

（2）当0≤m≤1时，最小值为g（

m

2

）=-

1

2

m²+2m+1≥0，所以可得：0≤m≤1
（3）当m＞1时，最小值为g（1）=2≥0恒成立，得：m＞1，
综之：m≥-

1

2

为所求的范围．
故答案为：m≥-

1

2

．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．