Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点的横坐标为x₀，直线AB的斜率为k，有k=f′（x₀）成立？若存在，请求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）求出导函数，令导函数大于等于0恒成立或小于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出a的范围，从而求出a的最小值．
（II）利用两点连线的斜率公式求出k并且化简k，求出f′（x₀）列出方程，通过换元构造新函数，通过导数判断出函数的单调性，求出最值，得到矛盾．

解答：解：（Ⅰ）f/(x)=x+a-3+

1

x

(x＞0)．（2分）
若函数f（x）在（0，+∞）上递增，
则f′（x）≥0对x＞0恒成立，即a≥-(x+

1

x

)+3对x＞0恒成立，
而当x＞0时，-(x+

1

x

)+3≤-2+3=1．
∴a≥1．
若函数f（x）在（0，+∞）上递减，
则f′（x）≤0对x＞0恒成立，即a≤-(x+

1

x

)+3对x＞0恒成立，这
是不可能的．
综上，a≥1．
a的最小值为1．（6分）
（Ⅱ）假设存在，不妨设0＜x₁＜x₂.k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

1 2 x 2 1 +(a-3)x1+lnx1- 1 2 x 2 2 -(a-3)x2-lnx2

x1-x2

=x0+(a-3)+

ln x1 x2

x1-x2

．（9分）
f/(x0)=x0+(a-3)+

1

x0

．
若k=f′（x₀），则

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

，即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 + 1

．（*）（12分）
令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
则u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k≠f′（x₀）．
因此，满足条件的x₀不存在．（16分）

点评：解决是否存在这种探索性的问题，常假设存在去求，若求出则存在，若求不出则不存在．