Question

已知命题p：方程

x2

2

+

y2

m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：实数m满足方程（m+4）x²-（m+2）y²=（m+4）（m+2）为双曲线．若“p∧q”为假命题，“p?q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由题意求出命题p中m的范围，命题q中m的范围，利用复合命题的真假求解m的范围．

解答：（本小题满分13分）
解：∵方程

x2

2

+

y2

m

=1表示焦点在y轴上的椭圆∴m＞2  …（3分）
∵方程（m+4）x²-（m+2）y²=（m+4）（m+2）为双曲线，即 

x2

m+2

+

y2

m+4

=1为双曲线，
∴（m+4）（m+2）＞0解得m＜-4或m＞-2     …（6分）
若“p∧q”为假命题，“p?q”为真命题，则p、q恰有一真一假…（8分）
（1）若“p真q假”则有：

m＞2 -4≤m≤-2

解得m∈∅； …（10分）
（2）若“p假q真”则有：

m≤2 -4＞m或m＞-2

解得m＜-4或2≥m＞-2…（12分）
综上（1）（2）知，实数m的取值范围是{m|m＜-4或2≥m＞-2}…（13分）

点评：本题考查椭圆的基本性质与双曲线的基本性质，复合命题的真假，基本知识的应用．