Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）判断函数在（-∞，0）的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用分母不为0，即可求函数的定义域；
（2）验证f（-x）=-f（x），即可判断函数的奇偶性；
（3）f（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=1+$\frac{2}{{2}^{2x}-1}$，即可判断函数在（-∞，0）的单调性．

解答 解：（1）由2^x-2^-x≠0，可得x≠0，
∴函数的定义域为{x|x≠0}；
（2）f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{{2}^{-x}-{2}^{x}}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（3）f（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=1+$\frac{2}{{2}^{2x}-1}$在（-∞，0）是增函数．

点评 本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．