Question

7．已知函数f（x）=2+$\frac{m}{{2}^{x}-1}$（m∈R）为奇函数．
（1）求m的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间，并给予证明；
（3）记g（x）=（x²-1）f（log₂x）+k•x²，若函数y=g（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（-1）=2-2m=-f（1）=-2-m，求m的值；
（2）利用导数求函数y=f（x）的单调区间，并给予证明；
（3）g（x）=（x²-1）（2+$\frac{4}{{2}^{lo{g}_{2}x-1}}$）+k•x²=（k+2）x²+4x+2，分类讨论，利用函数y=g（x）在区间（0，1）上单调递增，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）由题意，f（-1）=2-2m=-f（1）=-2-m，
∴m=4；
（2）f（x）=2+$\frac{4}{{2}^{x}-1}$，
∴f′（x）=-$\frac{4•{2}^{x}ln2}{（{2}^{x}-1）^{2}}$＜0，
∴函数y=f（x）的单调减区间是（-∞，0），（0，+∞）；
（3）g（x）=（x²-1）（2+$\frac{4}{{2}^{lo{g}_{2}x-1}}$）+k•x²
=（k+2）x²+4x+2
①k=-2时，g（x）=4x+2在（0，1）上递增，满足条件；
②$\left\{\begin{array}{l}{k+2＞0}\\{-\frac{4}{2（k+2）}≤0}\end{array}\right.$，∴k＞-2；
③$\left\{\begin{array}{l}{k+2＜0}\\{-\frac{4}{2（k+2）}≥1}\end{array}\right.$，∴-4≤k＜-2．
综上，k≥-4．

点评 本题考查函数的奇偶性，单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．