Question

18．求函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4在[0，a]（a＞0）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 f′（x）=（x+2）（x-2）．当x＞2时，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜2时，此时函数f（x）单调递减．对a分类讨论：当a＞2时，当0＜a≤2时，利用单调性研究极值与最值即可得出．

解答 解：f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
∴当x＞2时，f′（x）＞2，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜2时，f′（x）＜2，此时函数f（x）单调递减．
①当a＞2时，函数f（x）在[0，2）上单调递减；在（2，a]上单调递增；
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（2）=$\frac{8}{3}$-4=$-\frac{4}{3}$．
而f（0）=4，f（a）=$\frac{1}{3}{a}^{3}$-4a+4，
∴f（x）_max=$\{4，\frac{1}{3}{a}^{3}-4a+4{\}}_{max}$．
②当0＜a≤2时，函数f（x）在[0，a]上单调递减；
∴当x=a时，函数f（x）取得最小值，f（a）=$\frac{1}{3}{a}^{3}$-4a+4；
当x=0时，函数f（x）取得最大值，f（0）=4．

点评 本题考查了利用导数研究闭区间上函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．