Question

3．已知函数f（x）=3^ax-4^bx且a=log₃2，又函数y=log_c（x+1）+1（c＞0且c≠1）图象恒过定点的纵坐标为b．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）在[-1，1]内的值域．

Answer 1

分析 （1）根据x=0，则y=log_c（x+1）+1=1恒成立，可得b值，结合对数的运算性质，可得f（x）的解析式；
（2）令t=2^x，则4^x=t²，当x∈[-1，1]时，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，y=f（x）=t-t²，结合二次函数的图象和性质，可得函数y=f（x）在[-1，1]内的值域．

解答 解：（1）令x=0，则y=log_c（x+1）+1=1恒成立，
故函数y=log_c（x+1）+1（c＞0且c≠1）图象恒过定点（0，1），
即b=1，
又∵a=log₃2，
∴函数f（x）=3^ax-4^bx=${3}^{{log}_{3}2•x}-{4}^{x}$=2^x-4^x；
（2）令t=2^x，则4^x=t²，
当x∈[-1，1]时，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，y=f（x）=t-t²，
∵y=t-t²的图象是开口朝下，且以t=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最大值$\frac{1}{4}$，当t=2时，函数取最小值-2，
故函数y=f（x）在[-1，1]内的值域为[-2，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．