Question

10．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n为正整数）
（1）若${b_n}={2^n}{a_n}$，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）令${C_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}$，求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的前n项和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n为正整数），当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为$2{a}_{n}={a}_{n-1}+（\frac{1}{2}）^{n-1}$，可得2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．由于${b_n}={2^n}{a_n}$，可得b_n=b_n-1+1，即可证明．
（2）：由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，可得a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$.${C_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n为正整数），
∴当n=1时，a₁=-a₁-1，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$-{a}_{n}-（\frac{1}{2}）^{n-1}$-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}]$，化为$2{a}_{n}={a}_{n-1}+（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．
∵${b_n}={2^n}{a_n}$，
∴b_n=b_n-1+1，又b₁=2a₁=1，
∴数列{b_n}是等差数列，首项与公差都为1．
（2）解：由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，
∴2ⁿa_n=n，∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴${C_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．
∴数列{C_n}的前n项和T_n=$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}+\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”方法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．