Question

17．已知$α∈（\frac{π}{2}，π）$，$sinα+cosα=-\frac{1}{5}$，则$tan（α+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 利用辅助角公式sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），可求得sin（α+$\frac{π}{4}$），结合α的范围，可α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），利用同角的三角函数关系可求cos（α+$\frac{π}{4}$），tan（α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∴tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{cos（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{1}{7}$．
故答案为：$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查同角三角函数间的基本关系，考查了计算能力，属于基础题．