Question

7．现有质地均匀、大小相同、颜色分别为红、黄、蓝的小球各3个，从中随机抽取n个球（1≤n≤9），
（1）当n=3时，记事件A={抽取的三个小球中恰有两个小球颜色相同}．求P（A）；
（2）当n=2时，若用ξ表示抽到的红球的个数．
①求ξ的概率分布；
②令η=-λ²ξ+λ+1，E（η）＞1．求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）总的基本事件数为C₉³，事件A，可从三类中任取一类，再从该类的3个中任取2个，然后再从其余两类的6个中任取1个，由分步计数原理可得种数，进而可得概率；
（2）①ξ可能的取值为0，1，2，分别求其概率可得分布列；
②易求得期望E（ξ），进而可得E（η），由E（η）＞1可得关于λ的不等式，解之可得．

解答 解：（1）当n=3时，即从9个小球中抽取3个，故总的基本事件数为C₉³，
事件A，可从三类中任取一类共C₃¹种，再从该类的3个中任取2个共C₃²种，
然后再从其余两类的6个中任取1个共C₆¹种，故总共C₃¹C₃²C₆¹种，
所以$P（A）=\frac{C_3^1•C_3^2•C_6^1}{C_9^3}=\frac{9}{14}$…4分
（2）①ξ可取0，1，2，则
$P（ξ=0）=\frac{C_6^2}{C_9^3}=\frac{5}{12}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_3^1•C_6^1}{C_9^3}=\frac{1}{2}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_9^3}=\frac{1}{12}$…7分
分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{12}$

…8分
②$E（ξ）=\frac{2}{3}$…10分E（η）=-λ²E（ξ）+λ+1，E（η）＞1
所以$-\frac{2}{3}{λ^2}+λ+1＞1$
所以$0＜λ＜\frac{3}{2}$…14分．

点评 本题考查离散型随即变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．