Question

已知函数在（-∞，+∞）上是单调函数，且当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任一点切线斜率均小于4a，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：∵f（x）在R上是单调函数∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在x∈R成立
而f'（x）=x²+ax+a在x∈R上不可能有f'（x）≤0成立，则只有f'（x）≥0，在x∈R成立，
即x²+ax+a≥0在x∈R恒成立．
∴△=a²-4a≤0∴0≤a≤4
又f'（x）=x²+ax+a＜4a即x²+ax-3a＜0在x∈[-1，1]成立，
令g（x）=x²+ax-3a，
由图象知：
∴实数a的取值范围是＜a≤4
分析：根据f（x）在R上是单调函数则f'（x）≥0恒成立，求出a的范围，然后根据f'（x）=x²+ax+a＜4a即x²+ax-3a＜0在x∈[-1，1]成立，求出a的范围，求两者的交集即可求出所求．
点评：本题主要考查了导数的几何意义以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于中档题．