Question

14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x²-4x（x＞0），则不等式f（x）＞x的解集是（-5，0）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 设x＜0则-x＞0，根据题意和奇函数的性质求出x＜0时函数的解析式，再用分段函数的形式表示出来，对x进行分类讨论列出不等式组，求出不等式的解集．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x²-4x（x＞0），
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）]=-x²-4x，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$，
∵f（x）＞x，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{2}-4x＞x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{-x}^{2}-4x＞x}\end{array}\right.$，
解得-5＜x＜0或x＞5，
∴不等式的解集是（-5，0）∪（5，+∞），
故答案为：（-5，0）∪（5，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性的应用：求函数的解析式，一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想，属于中档题．