Question

（2013•保定一模）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=

π

4

，则（cosA一cosC）²的值为

2

．

Answer 1

分析：由a，b及c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将关系式利用正弦定理化简，得到sinA+sinC的值，设cosA-cosC=x，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出所求式子的值．

解答：解：∵三边a、b、c成等差数列，且B=

π

4

，
∴2b=a+c，A+C=

3π

4

，
将2b=a+c利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=

2

，
设cosA-cosC=x，
可得：（sinA+sinC）²+（cosA-cosC）²=2+x²，
即sin²A+2sinAsinC+sin²C+cos²A-2cosAcosC+cos²C=2-2cos（A+C）=2-2cos

3π

4

=2+x²，
则（cosA-cosC）²=x²=-2cos

3π

4

=

2

．
故答案为：

2

点评：此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及等差数列的性质，涉及的知识有：正弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．