Question

7．已知$\int_0^{\frac{π}{2}}$sin（x-φ）dx=$\frac{{\sqrt{7}}}{4}}$，则sin2φ=$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 先根据定积分的计算得到cosφ-sinφ=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，再平方利用二倍角公式即可求出答案．

解答 解：$\int_0^{\frac{π}{2}}$sin（x-φ）dx=-cos（x-φ）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-[cos（$\frac{π}{2}$-φ）-cosφ]=cosφ-sinφ=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cos²φ+sin²φ-2cosφsinφ=$\frac{7}{16}$，
∴sin2φ=$\frac{9}{16}$
故答案为：$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了定积分的计算和三角函数的化简，属于基础题．