Question

16．如图，四棱锥E-ABCD中，面EBA⊥面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，EA=EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2．
（Ⅰ）求证：AB⊥ED；
（Ⅱ）求直线CE与面ABE的所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作EM⊥AB，交AB于M，连结DM，由已知得四边形BCDM是边长为1的正方形，由此能证明AB⊥ED．
（Ⅱ）由已知得BC⊥面ABE，直线CE与面ABE所成角为∠CEB，由此能求出直线CE与面ABE的所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：作EM⊥AB，交AB于M，连结DM，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴M为AB的中点，
∵AB=2CD=2BC=2，AB∥CD，AB⊥BC，
∴四边形BCDM是边长为1的正方形，
∴AB⊥DM，
∵EM∩DM=M，
∴AB⊥面DEM，∴AB⊥ED．
（Ⅱ）解：∵AB⊥BC，面ABE⊥面ABCD，面ABE∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥面ABE，直线CE与面ABE所成角为∠CEB，
∵BC=1，BE=$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{3}$，∴sin∠CEB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．