Question

8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinθ}\\{y=3cosθ-2}\end{array}\right.$（θ为参数），在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为$\sqrt{2}$ρcosθ+$\sqrt{2}$ρsinθ=2a．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若直线l与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinθ}\\{y=3cosθ-2}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1可得直角坐标方程．
（2）直线l的方程为$\sqrt{2}$ρcosθ+$\sqrt{2}$ρsinθ=2a，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．由于直线l与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，可得圆心到直线的距离等于半径，即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinθ}\\{y=3cosθ-2}\end{array}\right.$（θ为参数），化为直角坐标方程：（x-2）²+（y+2）²=9．
（2）直线l的方程为$\sqrt{2}$ρcosθ+$\sqrt{2}$ρsinθ=2a，化为直角坐标方程：$x+y=\sqrt{2}a$．
∵直线l与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，
∴$\frac{|2-2-\sqrt{2}a|}{\sqrt{2}}$=3，解得a=±3．
∴a=±3．

点评 本题考查了把极坐标方程分别化为直角坐标方程的方法、参数方程化为普通方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．