Question

3．如图，正四面体S-ABC中，其棱长为2．
（1）求该几何体的体积；
（2）已知M，N分别是棱AB和SC的中点．求直线BN和直线SM所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取三角形ABC 的中心O，连接SO，说明SO为正四面体的高，求出底面面积与高，即可求解几何体的体积．
（2）连接MC，取MC中点E，连接BE，NE，BN，说明直线BN和直线NE所成的角即为直线BN和直线SM所成的角．通过解三角形求解即可．

解答 解：（1）取三角形ABC 的中心O，连接SO，
由正四面体的性质知$SO=\sqrt{S{M^2}-O{M^2}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
SO为正四面体的高，$\begin{array}{c}{S}_{△ABC}=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
$V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•SO=\frac{2\sqrt{2}}{3}$…（6分）
（2）连接MC，取MC中点E，连接BE，NE，BN，则NE平行于SB．
则直线BN和直线NE所成的角即为直线BN和直线SM所成的角．
BN=$\sqrt{3}$，NE=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，BE=$\sqrt{E{M^2}+M{B^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
∴$\begin{array}{l}cos∠BNE=\frac{{B{N^2}+N{E^2}-B{E^2}}}{2BN•NE}=\frac{2}{3}\end{array}$，
∴该几何体的体积$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
直线BN和直线SM所成的角的余弦值$\frac{2}{3}$．…（12分）．

点评 本题考查几何体的体积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力逻辑推理能力．．