Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，对所有正整数n≥2都有a₁•a₂•a₃•…•a_n=n²，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{（\frac{n}{n-1}）^{2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 在原数列递推式中，取n=n-1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式．

解答 解：由a₁•a₂•a₃•…•a_n=n²，得
a₁•a₂•a₃•…•a_n-1=（n-1）²（n≥2），
两式作商得：${a}_{n}=（\frac{n}{n-1}）^{2}$（n≥2），
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{（\frac{n}{n-1}）^{2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{（\frac{n}{n-1}）^{2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了由数列递推式求数列的通项公式，属基础题．