Question

4．如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？

Answer 1

分析 方法一、设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，由体积公式可得V=$\frac{1}{2}$xysin$\frac{2π}{3}$•2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$xy．再由余弦定理，结合重要不等式，可得xy的最大值，进而得到体积的最大值；
方法二、设∠ABC=θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米．运用正弦定理，以及体积公式，运用三角函数的化简，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解法一：设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，
所以V=$\frac{1}{2}$xysin$\frac{2π}{3}$•2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$xy．                           
由题意得4²=x²+y²-2xycos$\frac{2π}{3}$，即x²+y²+xy=16，
因为x²+y²≥2xy，所以16≥2xy+xy，即xy≤$\frac{16}{3}$，
当且仅当x=y=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$时，不等式取等号．
所以V≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{16}{3}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．                               
答：当AB=AC=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$米时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$立方米．
解法二：设∠ABC=θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米．
由正弦定理得$\frac{4}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{AC}{sinθ}$=$\frac{AB}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$，
则AC=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinθ，AB=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
所以V=$\frac{1}{2}$AB•AC•sin$\frac{2π}{3}$•BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{64}{3}$sinθ•sin（$\frac{π}{3}$-θ）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2
=$\frac{32}{3}$$\sqrt{3}$sinθ•sin（$\frac{π}{3}$-θ）
=$\frac{32}{3}$$\sqrt{3}$sinθ×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$×[$\sqrt{3}$sin2θ-（1-cos2θ）]
=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．                             
因为0＜θ＜$\frac{π}{3}$，即 $\frac{π}{6}$＜2θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
所以当且仅当2θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$时，V取得最大值$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．  
答：当∠ABC=$\frac{π}{6}$时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$立方米．

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的运用，考查运算能力，属于中档题．