Question

1．点M，N是平面区域$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{2x+y≤7}\end{array}\right.$内的两点，O是坐标原点，则tan∠MON的最大值为$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 先画出满足条件的平面区域，求出∠MON最大时的M、N的值，结合三角函数，从而求出答案．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
则M、N如图所示时：tan∠MON的值最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y=7}\end{array}\right.$得：M（1，5），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{2x+y=7}\end{array}\right.$得：N（3，1），
∴|OM|=$\sqrt{26}$，|ON|=$\sqrt{10}$，|MN|=2$\sqrt{5}$，
∴cos∠MON=$\frac{26+10-20}{2\sqrt{26×10}}$=$\frac{4}{\sqrt{65}}$，
∴sin∠MON=$\frac{7}{\sqrt{65}}$，
∴tan∠MON=$\frac{7}{4}$，
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查三角函数问题，结合图形是解答本题的关键，本题是一道中档题．