Question

7．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

参考数据（$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=145，$\sum_{i=1}^{5}$y_i²=13500，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=1380．）$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$
（1）求线性回归方程；
（2）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（2）把所给的广告费支出为10百万元时，代入线性回归方程，可得对应的销售额．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{25}{5}$=5，$\overline{y}$=$\frac{250}{5}$=50，
$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=145，$\sum_{i=1}^{5}$y_i²=13500，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=1380．
于是可得：b=$\frac{1380-5×5×50}{145-5×5×5}$=6.5；a=50-6.5×5=17.5．
因此，所求线性回归方程为：y=6.5x+17.5．
（2）根据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为10百万元时，y=6.5×10+17.5=82.5（百万元），
即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．

点评 本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节，本题是一个中档题目．