Question

2．函数y=$\sqrt{3-4x+{x}^{2}}$的定义域为M．
（1）求M和函数的值域；
（2）当x∈M时，关于x的方程4^x-2×2^x=b（b∈R）有两个不等实数根，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，3-4x+x²≥0从而解出M={x|x≥3或x≤1}；再由配方，即可得到函数的值域；
（2）令f（x）=4^x-2^x+1，设2^x=t，由x∈M，则t∈（0，2]∪[8，+∞），则f（x）=t²-2t，配方求得函数的单调区间，由题意即可得到b的范围．

解答 解：（1）由题意，3-4x+x²≥0，
解得，x≥3或x≤1；
即M={x|x≥3或x≤1}；
函数y=$\sqrt{{x}^{2}-4x+3}$=$\sqrt{（x-2）^{2}-1}$≥0，
则函数的值域为[0，+∞）；
（2）令f（x）=4^x-2^x+1，
设2^x=t，
由x∈M，则t∈（0，2]∪[8，+∞），
则f（x）=t²-2t=（t-1）²-1，
其在（0，1）上是减函数，
在（1，2）上是增函数，
在（8，+∞）上是增函数，
又∵当t=1时，即x=0时，f（x）=-1，
则使关于x方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有两不等实数根，
则-1＜b＜0，
故b的取值范围是（-1，0）．

点评 本题考查了函数的定义域的求法及函数的单调性的应用，同时考查了函数的零点与方程的根之间的关系，属于中档题．