Question

17．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）．
（1）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，求实数a，b的值；
（2）若b=1，对任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立，则a的范围；
（3）若b=1，对任意a∈[2，3]，g（x）≥0恒成立，则x的范围；
（4）在（1）的条件下记f（x）=g（|x|），若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴判断g（x）在区间[2，3]上为单调增函数，列出等式即可；
（2）对任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立即ax²-2ax+2≥0⇒a≤-$\frac{2}{{x}^{2}-x}$；
（3）由题意g（x）=ax²-2ax+2=（x²-2x）a+2≥0；令h（a）═（x²-2x）a+2，即转为关于a的一次函数求解；
（4）由（1）知g（x）=x²-2x+1；f（x）=g（|x|）=|x|²-2|x|+1，f（2）=1当f（x）＞1时，解得x＞2或x＜-2；要使得f（log₂k）＞3，即：log₂k＞2或log₂k＜-2；

解答 解：（1）由题意知，g（x）的对称轴为：x=1，开口朝上；
g（x）在[2，3]上单调递增，故有$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a+1+b=1}\\{9a-6a+1+b=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=1}\end{array}\right.$ 
（2）由b=1知，g（x）=ax²-2ax+2；
对任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立即ax²-2ax+2≥0⊕；
∴x∈[1，2）∴-1≤x²-2x＜0；
化简⊕后：a≤-$\frac{2}{{x}^{2}-x}$，令h（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}-x}$，即h（x）在x∈[1，2）上的最小值h（-1）=2；
∴a≤2；
（3）由b=1知，g（x）=ax²-2ax+2=（x²-2x）a+2≥0；
令h（a）═（x²-2x）a+2?；
①当x²-2x=0，即 x=0或2，?式在a∈[2，3]时成立；
②当x²-2x＞0时，即x＜0或x＞2，h（a）在[2，3]是增函数，需h（2）≥0⇒（x²-2x）×2+2≥0
解得：x＜0或x＞2
③当x²-2x＜0 时，即0＜x＜2，h（a）在[2，3]上是减函数，需h（3）≥0⇒（x²-2x）×3+2≥0
解得：0＜x≤1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x＜2
综上所述：x≤1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或≥1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（4）由（1）知g（x）=x²-2x+1；
f（x）=g（|x|）=|x|²-2|x|+1，f（2）=1
当f（x）＞1时，解得x＞2或x＜-2
要使得f（log₂k）＞3，即：log₂k＞2或log₂k＜-2
解得：k＞4或k＜$\frac{1}{4}$

点评 本题主要考查了二次函数的性质、转化思想、分类参数求最值以及偶函数性质等综合知识点，属中等题．