Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x-1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．
（Ⅱ）由f（x）≤0得|x-a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为
|x-1|≥2．
由此可得x≥3或x≤-1．
故不等式f（x）≥3x+2的解集为
{x|x≥3或x≤-1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0得
|x-a|+3x≤0
此不等式化为不等式组

x≥a x-a+3x≤

0或

x≤a a-x+3x≤0

即

x≥a x≤ a 4

或

x≤a x≤- a 2

因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤-

a

2

}
由题设可得-

a

2

=-1，故a=2

点评：本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．