Question

【题目】如图，在三棱柱中，，分别是，的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，側面都是正方形，求五面体的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由条件证明为平行四边形，故得，然后再由线面平行的判定定理可得结论成立．（Ⅱ）方法一：取的中点为，连接，然后证明为四棱锥的高，于是可得所求体积．方法二：取的中点，连接，根据条件可证得是四棱锥的高，且，然后根据 求解．

（Ⅰ）证明：设的中点为，连接，.

∵，分别为，的中点，

∴且.

∵为的中点，

∴且.

∴且，

∴为平行四边形，

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（Ⅱ）解法一：取的中点为，连接，

∵为等边三角形，

∴.

∵侧面是正方形，

∴，.

又平面，且，

∴平面.

∵平面，

∴，

又，

∴平面，即为四棱锥的高.

故所求体积 .

（Ⅱ）解法二：取的中点，连接，

∵为等边三角形，

∴.

∵侧面都是正方形，

∴，.

∵平面且，

∴平面.

∵平面，

∴，

∵，

∴平面.

∴是四棱锥的高，且.

故所求体积

.