Question

10．设x≥0，y≥0，且x+2y=$\frac{1}{2}$，求函数z=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（8xy+4y²+1）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 根据已知中x≥0，y≥0，且x+2y=$\frac{1}{2}$，利用代入消元法，可将函数z=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（8xy+4y²+1）的真数部分化为-12y²+4y+1（0≤y≤$\frac{1}{4}$），结合二次函数的图象和性质，分析真数部分的最值，进而结合对数函数的单调性，可得答案．

解答 解：∵x≥0，y≥0，且x+2y=$\frac{1}{2}$，
∴x=-2y+$\frac{1}{2}$，（0≤y≤$\frac{1}{4}$）
令t=8xy+4y²+1=8（-2y+$\frac{1}{2}$）y+4y²+1=-12y²+4y+1，0≤y≤$\frac{1}{4}$，
则当y=$\frac{1}{6}$时，t取最大值$\frac{4}{3}$，此时函数z取最小值log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{4}{3}$；
则当y=0时，t取最小值1，此时函数S取最大值log${\;}_{\frac{1}{2}}$1=0．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，二次函数的图象和性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质是解答的关键．