Question

已知函数f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数f（x）的最小值为M，求证：M≤1．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）的最小值M=a²-2a²lna，令g（x）=x²-2x²lnx（x＞0）求出函数的最大值，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=2x-

2a2

x

=

2x2-2a2

x

=

2(x+a)(x-a)

x

．…（2分）
令f'（x）=0，解得x=a或x=-a（舍）．
当x在（0，+∞）内变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	a2-2a2lna	↗

由上表知，f（x）的单调递增区间为（a，+∞）；f（x）的单调递减区间为（0，a）．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）的最小值M=a²-2a²lna．…（6分）
令g（x）=x²-2x²lnx（x＞0），则g'（x）=2x-4xlnx-2x=-4xlnx．
令g'（x）=0，解得x=1．…（8分）
当x在（0，+∞）内变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	1	↘

所以函数g（x）的最大值为1，即g（x）≤1．
因为a＞0，所以 M=a²-2a²lna≤1．…（11分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，正确求导是关键．