Question

设函数y=f（x）是定义域为R 的奇函数，且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R恒成立，当

-1≤x≤1时，f(x)=x³。则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数；②f(x)在[1，3]上的解析式为f(x)=(2-x)³；③f(x)在处的切线方程为3x+4y-5=0；④f(x)的图像的对称轴中有x=±1.其中正确的命题是          （    ）

       A．① ② ③    B．② ③  ④     C．① ③ ④       D．① ② ③ ④

Answer 1

D

解析:

∵f(x-2)=-f(x)对一切x∈R恒成立，∴f(x)=- f(x-2)=-[ - f(x-2-2)]= f(x-4)，∴ f(x+4)= f(x+4-4)= f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，①正确；当x∈[1，3]时，2-x∈[-1，1]，因此f(x)=- f(x-2)= f(2-x)= (2-x)³，②正确；由∈[1，3]，知f(x)=(2-x)³，，又，故切线方程为，即，③正确；

由f(x-2)=-f(x)= f(-x)得f(-1-x)=f(-1+x)，所以f(x)的图像的有对称轴x=-1，

由f(x+2)=-f(x+2-2)=-f(x)得，f(1-x)=f(1+x) 所以f(x)的图像的有对称轴x= 1，

所以④正确，选择D