Question

【题目】已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．
（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g（x）= ，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤ 成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=b﹣a﹣alnx，

∴f′（1）=b﹣a，

∴b﹣a=1﹣a，b=1，

∴f（x）=x﹣axlnx，

函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，

∴f′（x）=1﹣a﹣alnx≤0在[e，2e]上恒成立，

即a≥ 在[e，2e]上恒成立，

∵h（x）= 在[e，2e]上递减，

∴h（x）的最大值是 ，

∴实数a的最小值是

（2）解：∵g（x）= = ﹣ax，

∴g′（x）= =﹣ + ﹣a，

故当 = 即x=e2时，g′（x）max= ﹣a，

若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤ 成立，

等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤ 成立，

当a≥ 时，g（x）在[e，e2]上递减，

∴g（x）min=g（e2）= ﹣ae2≤ ，故a≥ ﹣ ，

当0＜a＜ 时，由于g′（x）在[e，2e]上递增，

故g′（x）的值域是[﹣a， ﹣a]，

由g′（x）的单调性和值域知：

存在x0∈[e，e2]，使g′（x）=0，且满足：

x∈[e，x0），g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（x0，e2]，g′（x）＞0，g（x）递增，

∴g（x）min=g（x0）= ≤ ，x0∈（e，e2），

∴a≥ ﹣ ＞ ﹣ ＞ ，与0＜a＜ 矛盾，不合题意，

综上：a≥ ﹣

【解析】（1）求出函数的导数，得到b﹣a=1﹣a，解出b，求出函数的解析式，问题转化为a≥ 在[e，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤ 成立，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．