Question

已知函数f（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），设x₁，x₂（x₁≠x₂）为函数f（x）的两个零点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若|x₁|+|x₂|=2，求实数b的最大值；
（3）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，g（x）=f（x）-a（x-x₁），求证：

|g(x)|

a

-

3

4

a²-a≤

1

3

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据x₁=-1，x₂=2，求出a，b，然后利用导函数求单调区间，
（2）由|x₁|+|x₂|=2得含有参数a的关系式，令h（a）=3a²（3-a），转化为求在0＜a≤3的最值问题；
（3）要证：

|g(x)|

a

-

3

4

a²-a≤

1

3

．只要证：

|g(x)|

a

≤

3

4

a²+a+

1

3

．由

|g(x)|

a

=3|x-x₁|•|x-x2-

1

3

|≤

3

4

(x2-x1+

1

3

)2，问题得以证明．

解答： 解：（1）∵x₁，x₂（x₁≠x₂）为函数f（x）的两个零点，
∴f（-1）=0，f（2）=0，
∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，解得a=6，b=-9，
∴f（x）=18x²-18x-36，
∴f′（x）=36x-18
∴其单调递减区间为（-∞，

1

2

），
其单调递增区间为（

1

2

，+∞），
（2）∵）∵x₁，x₂（x₁≠x₂）为函数f（x）的两个零点，
∴f（x₁）=f（x₂）=0，
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²的两根．
∵△=4b²+12a³，
∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=-

a

3

，
∵a＞0，∴x₁-x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=

(- 2b 3a )2-4(- a 3

)=

4b2 9a2 + 4 3 a

，
由|x₁|+|x₂|=2得

4b2 9a2 + 4 3 a

=2，
∴b²=3a²（3-a），
∵b²≥0，
∴3a²（3-a）≥0，
∴0＜a≤3，
令h（a）=3a²（3-a），h′（a）=-9a²+18a，
当0＜a＜2，h（a）为增函数，
当2＜a＜3，h（a）为减函数，
当a=2，h（a）最大值是12，
∴b最大值是2

3

；
（3）∵x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²的两根，
∴f（x）=3a（x-x_1）（x-x₂），
∴

|g(x)|

a

=3|x-x₁|•|x-x2-

1

3

|≤3(

|x-x1|+|x-x2- 1 3

2

)2，
∵x₁＜x＜x₂，∴x-x₁＞0，x-x₂＜0，
∴

|g(x)|

a

=3|x-x₁|•|x-x2-

1

3

|≤3(

|x-x1|+|x-x2- 1 3

2

)2=

3

4

(x2-x1+

1

3

)2，
∵x1•x2=-

a

3

，x₂=a，
∴x1=-

1

3

．
∴

|g(x)|

a

≤

3

4

(a+

1

3

+

1

3

)2=

3

4

a2+a+

1

3

，
∴

|g(x)|

a

-

3

4

a²-a≤

1

3

．

点评：本题是利用函数的导数求单调区间，最值的问题，综合性强，需要认真计算，仔细观察．