Question

19．设点P在曲线y=e^x上，点Q在直线y=x上，则|PQ|的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=e^x相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，由导数和切线的关系，再由平行线的距离公式可得最小值．

解答 解：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=e^x相切，
则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，
设直线y=x+b与曲线y=e^x的切点为（m，e^m），
则由切点还在直线y=x+b可得e^m=m+b，
由切线斜率等于切点的导数值可得e^m=1，
联立解得m=0，b=1，
由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为$\frac{|1-0|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查平行线间的距离公式，等价转化是解决问题的关键，属中档题．