Question

12．函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的单调减区间为$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$．

Answer 1

分析 利用倍角公式、和差公式可得f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的单调递减区间，与[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]求交集即可得出．

解答 解：f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x=cosxsinx-$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{3}）$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由$2kπ+\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得：kπ+$\frac{5}{12}$π≤x≤$\frac{11}{12}$π+kπ（k∈Z）．
令k=0，可得$\frac{5}{12}$π≤x≤$\frac{11}{12}$π，
求交集$[\frac{5π}{12}，\frac{11π}{12}]$∩[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]=$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$，
∴函数f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的单调减区间为$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$，
故答案为：$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．