Question

2．已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且$\frac{cosB}{cosC}$=$-\frac{b}{2a+c}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和三角函数公式化简可得cosB=-$\frac{1}{2}$，结合三角形内角的取值范围可得B=$\frac{2π}{3}$；
（2）由题意正弦定理可得a=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinA，c=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinB=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-A），A∈（0，$\frac{π}{3}$），写出三角形的周长由三角函数的最值可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中$\frac{cosB}{cosC}$=$-\frac{b}{2a+c}$，
∴由正弦定理可得$\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，
∴cosB（2sinA+sinC）=-sinBcosC，
∴2sinAcosB=-（sinBcosC+cosBsinC）=-sin（B+C）=-sinA，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，同除以sinA可得cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴角B=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵b=4，B=$\frac{2π}{3}$，∴由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinA，
同理可得c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinC=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-A），A∈（0，$\frac{π}{3}$）
∴△ABC周长l=a+b+c=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinA+$\frac{8}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-A）+4
=$\frac{8}{\sqrt{3}}$（sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA）+4
=$\frac{8}{\sqrt{3}}$（$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）+4
=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sin（A+$\frac{π}{3}$）+4，
∵A∈（0，$\frac{π}{3}$），∴A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴当A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即A=$\frac{π}{6}$时，上式取最大值$\frac{8}{\sqrt{3}}$+4=4+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．