Question

17．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的侧面与底面所成角的大小是arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 正四棱锥P-ABCD的侧面是正三角形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足O是正方形ABCD的中心，过O作OE⊥BC，交BC于E，连结PE，则∠PEO是正四棱锥P-ABCD的侧面与底面所成角，由此能求出它的侧面与底面所成角的大小．

解答 解：∵正四棱锥P-ABCD的侧面是正三角形，
∴设AB=BC=PB=PC=2，
过P作PO⊥平面ABCD，垂足O是正方形ABCD的中心，
过O作OE⊥BC，交BC于E，连结PE，则PE⊥BC，E是BC中点，
∴∠PEO是正四棱锥P-ABCD的侧面与底面所成角，
∵OE=$\frac{1}{2}AB$=1，PE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠PEO=$\frac{OE}{PE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠PEO=arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴它的侧面与底面所成角的大小是arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查正四棱锥的侧面与底面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．