Question

8．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=25，S₁₂=54．
（1）求a_n；
（2）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=25，S₁₂=54．利用等差数列的通项公式及其性质及其前n项和公式即可得出．
（2）S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}$n．设T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．令a_n≥0，解得n≤11．可得当n≤11时，T_n=S_n．当n≥12时，T_n=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-…-a_n=2S₁₁-S_n，即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=25，S₁₂=54．
∴5a₆=25，即a₆=5=a₁+5d，12a₁+$\frac{12×11}{2}$d=54，
联立解得a₁=10，d=-1．
∴a_n=10-（n-1）=11-n．
（2）S_n=$\frac{n（10+11-n）}{2}$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}$n．
设T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．
令a_n≥0，解得n≤11．
∴当n≤11时，T_n=S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}$n．
当n≥12时，T_n=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-…-a_n
=2S₁₁-S_n
=$2（-\frac{1}{2}×1{1}^{2}+\frac{21}{2}×11）$-（$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}$n）
=110+$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{21}{2}n$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21}{2}n，n≤11}\\{110+\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{21}{2}n，n≥12}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质及其前n项和公式、含绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．