Question

9．如图，过坐标原点O的直线椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）于P，A两点，其中P在第一象限，B在椭圆Г上，直线AB与x轴交于点C．
（1）若椭圆Г的焦距为2$\sqrt{2}$，点P坐标为（$\sqrt{2}$，1），求椭圆Г的标准方程；
（2）求证：k_BP•k_BA=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$；
（3）若BP⊥AP，PC⊥x轴，求椭圆Г的离心率．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=$\sqrt{2}$，即a²-b²=2，将P（$\sqrt{2}$，1）代入椭圆方程，解方程组可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），P（-x₁，-y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得证；
（3）由两直线垂直的条件可得k_BP•k_AP=-1，由（2）的结论，运用直线的斜率公式，化简整理，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到离心率．

解答 解：（1）由题意可得2c=2$\sqrt{2}$，即为c=$\sqrt{2}$，
即a²-b²=2，
将P（$\sqrt{2}$，1）代入椭圆方程可得，$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
则椭圆Г的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），P（-x₁，-y₁），B（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减可得，$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=0，
则k_BP•k_BA=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$；
（3）由BP⊥AP，可得k_BP•k_AP=-1，
由k_BP•k_BA=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，可得k_AP=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$k_BA，（*）
设P（x₀，y₀），则A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），
则k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，k_BA=k_CA=$\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}$，
代入（*），可得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$•$\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}$，
即有a²=2b²，由a²-b²=c²，
可得a²=2c²，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质和点满足椭圆方程，考查直线的斜率公式和点差法的运用，考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和离心率公式，属于中档题．