Question

19．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，M为椭圆上一点，△MF₁F₂的周长为2$\sqrt{3}$+2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l过点F₂，l与圆O：x²+y²=5相交于P，Q两点，l与椭圆E相交于R，S两点，若|PQ|∈[4，$\sqrt{19}$]，求△F₁RS的面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2a+2c=2$\sqrt{3}$+2，由此能求出椭圆的方程．
（2）设l：x=my+1，与椭圆联立，得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此利用点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合题意条件能求出△F₁RS的面积的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，①
∵F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，P是C上任意一点，且△PF₁F₂的周长为2$\sqrt{3}$+2，
∴2a+2c=2$\sqrt{3}+2$，②
联立①②，解得a=$\sqrt{3}$，c=1，∴b²=3-1=2，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由题知直线l的斜率为0时不满足题意，
设l：x=my+1，O到l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴|PQ|=2$\sqrt{5-\frac{1}{1+{m}^{2}}}$∈[4，$\sqrt{19}$]，∴0≤m²≤3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0，
△=（4m）²+16（2m²+3）＞0恒成立，
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-4}{2{m}^{2}+3}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{（2{m}^{2}+3）^{2}}+\frac{16}{2{m}^{2}+3}}$=$\frac{4\sqrt{3（{m}^{2}+1）}}{2{m}^{2}+3}$，
∴${S}_{△{F}_{1}RS}$=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|•|F₁F₂|=$\frac{4\sqrt{3（{m}^{2}+1）}}{2{m}^{2}+3}$，
令t=m²+1∈[1，4]，
∴${S}_{△{F}_{1}RS}=4\sqrt{\frac{3t}{（2t+1）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4+（4t+\frac{1}{t}）}}$，
∵f（t）=4t+$\frac{1}{t}$在[1，4]上单调递增，∴f（t）=[5，$\frac{65}{4}$]，
∴${S}_{△{F}_{1}RS}$∈[$\frac{8\sqrt{3}}{9}，\frac{4\sqrt{3}}{3}$]，
∴△F₁RS的面积的最大值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，最小值是$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值及最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．