Question

11．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点且OA⊥OB，是否存在以原点O为圆心的定圆与直线l相切？若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=2，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式，能求出定圆方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，
∵椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由题意$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=2，解得c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若k存在，则设直线AB：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，…（6分）
∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，…（7分）
由OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=0，代入得5m²=4k²+4，…（9分）
原点到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（10分）
当AB的斜率不存在时，|x₁|=|y₁|，得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{x}_{1}}^{2}$=1，|x₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}=d$，依然成立
∴点O到直线AB的距离为定值$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…（11分）
∴定圆方程为x²+y²=$\frac{4}{5}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查定圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式的合理运用．