Question

2．对称轴为坐标轴的椭圆与的焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），P为椭圆上任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，再由椭圆的定义可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（m≠0）．与椭圆的方程联立可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．由△＞0，可得1+4k²＞m²．得到根与系数关系．利用直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k²，化为4k²=1．同时得到m²＜2．利用弦长公式可得|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$═2$\sqrt{（1+{k}^{2}）（2-{m}^{2}）}$，利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线PQ的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．利用S_△OPQ=$\frac{1}{2}$•|PQ|•d=$\sqrt{（2-{m}^{2}）{m}^{2}}$，再利用基本不等式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
又|PF₁|+|PF₂|=4，即有
2a=4，即a=2，b=1，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由题意直线l的方程为：y=kx+m（m≠0，±1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-4（4m²-4）（1+4k²）＞0，化为1+4k²＞m²，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k²，
∴（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂，
化为mk（x₁+x₂）+m²=0，
∴$\frac{-8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$+m=0，
∴4k²=1，∴m²＜2．
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{4（4{m}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{（1+{k}^{2}）（2-{m}^{2}）}$，
原点O到直线PQ的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$•|PQ|•d=$\sqrt{（2-{m}^{2}）{m}^{2}}$≤$\frac{2-{m}^{2}+{m}^{2}}{2}$=1，由于m²≠1，因此不取等号．
∴S_△OPQ的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．