Question

13．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，焦点在直线x-2y-2=0上，且离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆方程；
 （2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由焦点在直线x-2y-2=0上，令y=0，得焦点（2，0），再由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，能求出椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出l的方程．

解答 （本题满分12分）
解：（1）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，焦点在直线x-2y-2=0上，
∴令y=0，得焦点（2，0），∴c=2，
∵离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{2}{a}=\frac{1}{2}$，解得a=4，∴b²=16-4=12，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，
∴由题意，x₁+x₂=6，y₁+y₂=2，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）}{16}$+$\frac{（{y}_{2}-{y}_{1}）（{y}_{2}+{y}_{1}）}{12}$=0，
∴k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{9}{4}$，
∴l的方程为：y-1=-$\frac{9}{4}（x-3）$，即9x+4y-31=0．

点评 本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和点差法的合理运用．