Question

8．设向量$\overrightarrow{AB}=（{1，2cosθ}），\overrightarrow{BC}=（{m，-4}），θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．若对任意$m∈[{-1，0}]，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}≤10$恒成立，则$sin（{θ-\frac{π}{2}}）$的取值范围为$[{-1，-\frac{3}{4}}]$．

Answer 1

分析 由于$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}={m^2}+m+16-8cosθ≤10$，即m²+m+6≤8cosθ对任意m∈[-1，0]恒成立．当m∈[-1，0]，利用二次函数的单调性可得（m²+m+6）_max，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=（{m+1，-4+2cosθ}）$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}={m^2}+m+16-8cosθ≤10$，
即m²+m+6≤8cosθ对任意m∈[-1，0]恒成立．
当m∈[-1，0]，（m²+m+6）_max=6，
∴8cosθ≥6，∴$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，∴cosθ∈（0，1]，
∴$cosθ∈[{\frac{3}{4}，1}]$，∴$sin（{θ-\frac{π}{2}}）=-cosθ∈[{-1，-\frac{3}{4}}]$．
故答案为：$[{-1，-\frac{3}{4}}]$．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．