Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°且$\frac{c}{b}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，则tanB=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知数据统一用b表示c和a，由余弦定理可得cosB，再由同角三角函数基本关系可得．

解答 解法一：∵在△ABC中A=60°，且$\frac{c}{b}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，∴c=（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$）b，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
=b²+（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$）²b²-2b（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{4}$b²，∴a=$\frac{\sqrt{15}}{2}$b，
再由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\frac{15}{4}{b}^{2}+（\frac{1}{2}+\sqrt{3}）^{2}{b}^{2}-{b}^{2}}{2×\frac{\sqrt{15}}{2}b×（\frac{1}{2}+\sqrt{3}）b}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{1}{2}$，
解法二：△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，
∴B+C=π-A=$\frac{2π}{3}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$-B，
由正弦定理得：$\frac{c}{b}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin（\frac{2π}{3}-B）}{sinB}$
=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB}{sinB}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，
∴tanB=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查余弦定理解三角形，涉及整体代换的思想，属中档题．