Question

7．如图，椭圆的中心在原点，顶点分别是A₁，A₂，B₁，B₂，焦点分别为F₁，F₂，延长B₁F₂与A₂B₂交于点P，若∠B₁PA₂为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 向量$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$=（a，-b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），由∠B₁PA₂为钝角，得-ac+b²＜0，由此能求出椭圆离心率的取值范围．

解答 解：∠B₁PA₂是向量$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的夹角，
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
则向量$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$=（a，-b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），
∵∠B₁PA₂为钝角，∴-ac+b²＜0，
把b²=a²-c²代入不等式得：
a²-ac-c²＜0，∴1-e-e²＜0，
即e²+e-1＞0，
解得e＜$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$或e＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又0＜e＜，∴$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜e＜1，
∴椭圆离心率的取值范围为（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．