Question

15．数列{a_n}满足a_n-a_n+1=a_na_n+1（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，且b₁+b₂+…+b₉=90，则b₄•b₆（　　）

• A． 最大值为99
• B． 为定值99
• C． 最大值为100
• D． 最大值为200

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n-a_n+1=a_na_n+1（n∈N^*），变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，可知：数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为1．而数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，因此数列{b_n}是等差数列．由b₁+b₂+…+b₉=90，利用等差数列的性质可得：b₅=$\frac{{b}_{4}+{b}_{6}}{2}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n-a_n+1=a_na_n+1（n∈N^*），∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为1．
∵数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，∴数列{b_n}是等差数列．
且b₁+b₂+…+b₉=90，
∴4×2b₅+b₅=90，
解得b₅=10=$\frac{{b}_{4}+{b}_{6}}{2}$，
∴b₄+b₆=20．
则b₄•b₆≤$（\frac{{b}_{4}+{b}_{6}}{2}）^{2}$=100，当且仅当b₄=b₆=10时取等号．
∴b₄•b₆的最大值为100．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．