Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O：x²+y²=b²上的动点，若$\frac{|AP|}{|FP|}$是常数，则椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 设F（-c，0），由c²=a²-b²可求c，P（x₁，y₁），要使得$\frac{|AP|}{|FP|}$是常数，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（x₁+c）²+y₁²]比较两边可得c，a的关系，结合椭圆的离心率公式，解方程可得可求．

解答 解：设F（-c，0），c²=a²-b²，A（-a，0），P（x₁，y₁），
使得$\frac{|AP|}{|FP|}$是常数，
设$\frac{|AP|}{|FP|}$=$\sqrt{λ}$，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（x，λ是常数），
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），
比较两边，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，
∴（e-1）（e²+e-1）=0，
∴e=1或e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵0＜e＜1，∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，主要考查椭圆的离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．