Question

11．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：AC₁⊥B₁C；
（2）求证：AC₁⊥CB₁D₁．

Answer 1

分析 （1）以为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能证明AC₁⊥B₁C．
（2）利用向量法推导出AC₁⊥CD₁，AC₁⊥B₁C，由此能证明AC₁⊥面CB₁D₁．

解答 证明：（1）以为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），C₁（0，1，1），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，-1），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}$=1+0-1=0，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}⊥\overrightarrow{{B}_{1}C}$，∴AC₁⊥B₁C．
（2）D₁（0，0，1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=0-1+1=0，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$⊥$\overrightarrow{C{D}_{1}}$，∴AC₁⊥CD₁，
∵AC₁⊥B₁C，B₁C∩CD₁，
∴AC₁⊥面CB₁D₁．

点评 本题考查线线垂直、线面垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．